אבנר נולד בשנת 1872 בעיר המחוז צ'רנוביץ' שבבוקובינה, האימפריה האוסטרו-הונגרית, בן ליעקב ומכלה אבנר (לבית פרנקל). אח לעוד 7 אחים ואחיות. אביו יעקב אבנר הושפע מרעיונות החסידות וההשכלה. סבו יוסף רובינזון – אבנר, עבד בבית דפוס בצ'רנוביץ, שם הדפיס ספרים ברוסית ועברית וזכה על עבודתו זו לקבל מהקיסר פרנץ יוזף אות הצטיינות.
אבנר זכה לחינוך יהודי מסורתי, התעניין בהיסטוריה ופילוסופיה וכנער למד תנ"ך ותלמוד, (הסבא רבא היה רב) אך במקביל למד בגימנסיה הכללית, שם ספג את יסודות הסאטירה הפוליטית ששימשה אותו יותר מאוחר כנשק אינטלקטואלי לטובת המיעוט היהודי; את לימודי המשפטים סיים באוניברסיטת צ'רנוביץ, ועסק בעריכת דין גם בשנים הסוערות של פעילותו המדינית.
את אשתו אדלה אבנר (לבית טרייסטר) נשא לאישה בשנת 1899. נולדו להם 2 בנות ובן; אלמה אבנר- מנצ'ר ניספתה בטרנסניסטריה עם בעלה ארווין ובנם אריאל; נטלי אבנר- קרמניצר עלתה ארצה בשנת 1950 עם בעלה עו"ד ד"ר לוציוס קרמניצר (ללא ילדים) ובן ד"ר יוסף אבנר עלה ארצה עוד בשנת 1934, נשא לאשה את ברונקה אבנר (לבית אייזנברג), נולדה להם בת.